Ялгавартай - Энэ юу вэ? функцийн дифференциал хэрхэн олох вэ?

үүсмэл хамт тэдний үйл ажиллагаа ялгаа - энэ нь үндсэн үзэл баримтлалын зарим ялгаатай тооцооноос,-ын гол хэсэгт математик дүн шинжилгээ хийх. салшгүй холбоотой учраас тэдний аль аль нь хэдэн зууны өргөн шинжлэх ухаан, техникийн үйл ажиллагааны явцад үүссэн бараг бүх асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэглэдэг.

дифференциал үзэл баримтлал нь гарч

анх удаа тодорхой ийм дифференциал гэж үүсгэн байгуулагчдын нэг (Isaakom Nyutonom хамт) ялгаатай тооцооллоор Германы алдарт математикч Gotfrid Vilgelm Leybnits хийсэн байна. гэсэн 17-р зууны математикч өмнө. үүнээс доош үнэлдэг үйл ажиллагаа нь ердөө л байж чадахгүй нь маш бага тогтмол утгатай боловч тэгтэй тэнцүү биш, төлөөлж, ямар ч мэдэгдэж байгаа үйл ажиллагаа нь зарим өчүүхэн "хуваагдаагүй" маш тодорхой бус, бүрхэг ойлголттой байсан. Тиймээс энэ үйл ажиллагаа нэмэлт өгөгдлүүд болон сүүлийн нь деривативын илэрхийлж болно чиг үүргийг тус тусын цэгэн түүврийн өчүүхэн цэгэн түүврийн ойлголт нэвтрүүлэх нь зөвхөн нэг алхам байсан юм. Мөн энэ алхам нь бараг нэгэн зэрэг дээрх хоёр их эрдэмтэн авчээ.

шинжлэх ухаан тулгарах яаралтай практик механикч асуудлыг шийдвэрлэх шаардлага дээр тулгуурлан хурдацтай үйлдвэр, технологийн боловсруулах, Ньютон болон Leibniz, ийм үзэл баримтлалын нэвтрүүлэх хүргэсэн (ялангуяа алдартай чиг хандлага биеийн механик хурдны талаар) өөрчлөлтийн түвшин чиг олох нийтлэг арга зам бий үүсмэл үйл ажиллагаа болон ялгавартай байдлаар, мөн мэдэгдэж дангаараа (хувьсагч) байдлаар алгоритм нь урвуу асуудал шийдэл салшгүй үзэл баримтлал хүргэсэн замыг олохын тулд туулж хурдыг олж Ала.

Δh Сүүлчийн үнэ цэнийг тооцоолох амжилттай хэрэглэж болно Δu чиг үүргийг нэмэгдүүлнэ үндсэн нэмэлт өгөгдлүүдийг Цэгэн пропорциональ байна - Leibniz ба Ньютоны санаа бүтээлийг анх удаа энэ ялгаа гэж үзэгдэв. үлдсэн, Δh → шиг тэг хандлагатай - Өөрөөр хэлбэл, тэд цэгэн үйл ажиллагаа (тодорхойлолт нь өөрийн домэйнд) ямар ч үед байж болох юм гэж түүний үүсмэл Δu = Y '(X) Δh + αΔh α Δh аль аль нь дамжуулан илэрхийлсэн байна нээсэн байна 0, бодит Δh хамаагүй хурдан.

Математикийн шинжилгээний үүсгэн дагуу ялгаа - энэ нь яг ямар чиг Цэгэн анхны нэр томъёо юм. Тэр ч байтугай тодорхой хязгаар ойлголт дараалал деривативын ялгаатай утга нь ажиллахын тулд хандлагатай гэж мэдрэгдээд ойлгож байна хийлгүйгээр үед Δh → 0 - Δu / Δh → Y '(х).

Ньютон, үндсэндээ физикч, физикийн асуудлуудыг судлахад туслах хэрэгсэл гэж үздэг математикийн багаж байсан ялгаатай Leibniz илүү анхаарал энэ Хэрэгсэлийн тулд харааны, ойлгомжтой тэмдгийн математик утга нь системийн дотор төлсөн байна. Энэ нь ялгаатай үйл ажиллагаа Ма стандарт тэмдэглэгээг санал болгож буй хүмүүс = Y '(X) DX, DX, тэдний харилцаа у талаар маргаан функцийн үүсмэл' (х) = Ма / DX тэр байсан юм.

орчин үеийн тодорхойлолт

Орчин үеийн математикийн хувьд ялгаатай гэж юу вэ? Энэ нь нягт хувьсах Цэгэн үзэл холбоотой юм. хувьсагч у у у = ₁ нь анхны утгыг авдаг _бол, дараа нь у = Y _2, ялгаа у ₂ ─ у ₁ цэгэн утга у гэж нэрлэдэг. Цэгэн дээжээр нь эерэг байж болно. сөрөг болон тэг. гэдэг үг нь "цэгэн" бичлэг Δ, Δu томилсон байна ( 'дельта у' унш) цэгэн у утгыг илэрхийлнэ. тэгээд Δu = Y ₂ ─ у _1.

Δh → 0 хандлагатай үед утга Δu дурын үйл ажиллагаа Y = F (X) Δu = A Δh + α, А Δh ямар ч хамааралтай, т байдаг шиг илэрхийлж болох юм бол болно. Өгөгдсөн Х-д зориулсан E. А = Const болон хугацааны α энэ нь тэмдэглэсэн ч хурдан бодит Δh, дараа нь анх удаа ( "мастер") хугацаагаар пропорциональ Δh илүү юм, Y = F (X) дифференциал юм Ма эсвэл DF (X) (унших "у-де-", "де Х-аас eff"). Цэгэн Δh үйл ажиллагааны бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн талаар нь "үндсэн" шугаман - Тийм учраас ялгавартай.

механик тайлбар

хөдөлж шулуун шугамаар зайг - н F (T) = байг материал цэг (- аялал жуулчлалын цаг тн) эхний байрлалд байна. Цэгэн Δs - цаг хугацааны интервалд Δt үед зам цэг юм, дифференциал DS = F '(T) Δt - энэ зам, цэг нь нэг удаа зохион байгуулж болно Δt, энэ хурд нь е үлдээсэн бол' (т), Т-д хүрч, . нь өчүүхэн Δt DS Зохиолын зам нь бодит Δs infinitesimally Δt хувьд илүү өндөр дэг журам бүхий ялгаатай үед. цаг тонн-д хурд нь тэгтэй тэнцүү биш бол ойролцоо утга DS жижиг хэвийсэн цэгийг өгдөг.

геометрийн тайлбар

шугам L у = F (X) -ийн график юм үзье. Дараа нь Δ х = MQ, Δu = QM '(үзнэ үү. Доор Зураг). Тангенс MN Δu хоёр хэсгээс, Асуулт Хариулт Код болон ШАр "хуваасан эвдсэн. Эхний бөгөөд Δh юм пропорциональ Асуулт Хариулт Код = MQ төгрөг (өнцөг QMN) = Δh е "(х), т. E Асуулт Хариулт Код Ма ялгаатай юм ∙.

зөрүүгээр Δu NM'daet ─ Ма, Δh → 0 NM урт ', тэр ч байтугай хурдан маргаан Цэгэн илүү буурч хоёр дахь хэсэг нь дийлнэ хэмээн сэтгэж Δh илүү дарааллыг байна өөрөөр хэлбэл. Энэ тохиолдолд е "(х) ≠ 0 (төрийн бус зэрэгцээ тангенс үхэр) сегментэд QM'i Асуулт Хариулт Код тэнцэх бол; Өөрөөр хэлбэл NM "хурдан нийт цэгэн Δu = QM илүү (түүний өндөр нь дийлнэ хэмээн сэтгэж дараалал) буурч". Энэ Зураг (ойртож сегмент M'k М NM'sostavlyaet бүх бага хувь QM "сегмент) -д тодорхой байна.

Тэгэхээр, графикаар дур мэдэн үйл ажиллагаа шүргэгч нь уялдуулах нь Цэгэн тэнцүү ялгаатай.

Үүсмэл болон ялгавартай

илэрхийлэл цэгэн функцийн эхний хугацаанд нь хүчин зүйл нь түүний үүсмэл F '(X) -ийн үнэ цэнэтэй тэнцүү байна. Тиймээс дараах харилцаа - Ма = F (X) Δh эсвэл DF (X) = F (X) Δh.

Энэ нь бие даасан маргаан цэгэн нь ялгаатай Δh = DX тэнцүү байна гэж мэдэгдэж байгаа юм. Тиймээс, бид бичиж болно: F (X) DX = Ма.

(Заримдаа "шийдвэр" гэж хэлсэн) олох ялгавартай үүсмэл адил дүрмийн дагуу гүйцэтгэнэ. Тэдний жагсаалтыг доор өгсөн байна.

Юу илүү түгээмэл байна: аргумент буюу дифференциал нь цэгэн

Энд зарим нэг тодруулга хийх шаардлагатай байна. Төлөөлөл утга е "(х) дифференциал Δh аль нь нэмэлт өгөгдөл болгон х хэлэлцэж байх үед. Харин үйл ажиллагаа нь нарийн төвөгтэй, х аргумент тонн үйл ажиллагаа байж болох юм байж болно. Дараа нь е "(х) Δh ялгаатай үзэл бодлоо илэрхийлэх илэрхийлэл нь зарчмын хувьд, энэ нь боломжгүй юм; шугаман хамаарлын х = + B үед бусад тохиолдолд.

томъёо е хувьд "(х) DX = Ма, дараа нь х тонн параметрийн хамааралтай тохиолдолд бие даасан хувьсагч X тохиолдолд (дараа нь DX = Δh), энэ нь ялгаатай байдаг.

Жишээ нь, илэрхийлэл 2 х Δh у = х ² нь ялган х маргаан юм байна. Бид одоо х = т ^2-т аргументыг гэж тооцох болно. Дараа нь у = х ² = тн ^4.

Энэ нь (T + Δt) ² = т ² + 2tΔt + Δt ^2, дараа нь ^юм. Тиймээс Δh = 2tΔt + Δt ^2. Тиймээс: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

Энэ нь илэрхийлэл Δt пропорциональ биш юм, тиймээс одоо 2xΔh ялгаатай биш юм. Энэ тэгшитгэл у = х ² = тн ⁴ нь олж ^болно. Энэ нь ижил Ма = 4t ³ Δt юм.

Бид илэрхийлэл 2xdx авч үзвэл, энэ нь ямар ч баталгаа тонн нь ялгавартай у = х ² юм. Үнэндээ бол х = тн ² DX = 2tΔt авна.

Тиймээс 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, т. E. хоёр өөр хувьсагч бүртгэсэн илэрхийлэл ялгаатай давхцдаг.

Цэгэн ялгааг солих

е бол "(х) ≠ 0, дараа нь Δu болон Ма түүнтэй адилтгах (Ямар Δh → 0); Хэрэв е "(х) = 0 (утга учир, Ма = 0), тэдгээр нь адил биш юм.

Жишээ нь, у = х ^2, дараа нь Δu = (X + Δh) ² ─ х ² = 2xΔh + Δh ^2, Ма бол = 2xΔh. Хэрвээ х = 3, дараа нь бид х = 0 утга Δu = Δh ^2, Ма = 0 адил биш юм бол Δu = 6Δh + Δh ² улмаас Δh ² → 0 тэнцүү байдаг Ма = 6Δh, байна.

Энэ нь үнэн хамтдаа дифференциал энгийн бүтэц бүхий (м. Δh талаар E. Шугаман), ихэвчлэн ойролцоо тооцоонд, таамаглал дээр ашиглаж байгаа жижиг Δh нь Δu ≈ Ма юм. ялгаатай үйл ажиллагаа нь ихэвчлэн Цэгэн яг үнэ цэнийг тооцоход илүү хялбар байдаг хай.

Жишээ нь, бид ирээр металл шоо байх х = 10.00 см. Δh = 0.001 см. нэмэгдсэн хэр хэмжээ шоо V дээр уртасгасан зах халаалт дээр? ^Бид V = X ² байна DV = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ оны хоёрдугаар сарын ^10-0/01 = 3 (см ^{3) болохоор.} Нэмэгдсэн ΔV адил дифференциал DV Ингэснээр ΔV = 3 см-ийн ^3. Бүрэн тооцоо ³ ΔV = 10,01 ─ оны гуравдугаар сарын ¹⁰ = 3.003001 өгөх болно. Гэхдээ эхлээд найдваргүй бусад оронтой үр дүн; тиймийн тул, энэ нь 3 см ³ хүртэлх шатанд шаардлагатай хэвээр ^байна.

Мэдээж энэ арга нь энэ алдаа нь мэдүүлсэн үнэ цэнийг тооцох боломжтой тохиолдолд ашигтай байдаг.

Дифференциал үйл ажиллагаа: жишээ

-ийн деривативыг ^олох функц нь у = х ³ ялган олж оролдоод үзье. АНУ-ын баталгаа цэгэн Δu өгч, тодорхойлж үзье.

Δu = (Δh + х) ³ ─ х ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

Энд коэффициент A = 3x ² Эхний хугацааны пропорциональ Δh, бусад гишүүн 3xΔh Δh ² + ³ гэсэн учраас Δh хамааралтай биш юм Δh → 0 маргаан Цэгэн илүү хурдан буурч байх үед. Үүний үр дүнд, 3x ² Δh гишүүн у = х ³ ялгаатай ^байна:

Ма = 3x ² Δh = 3x ² DX эсвэл г (х ³⁾ = 3x ² DX.

Үүгээр г (х ³⁾ / DX = 3x ^2.

Ма Бид одоо олж функц нь у = 1 дериватив нь / х. Дараа нь г (1 / X) / DX = ─1 / х ^2. Тийм учраас Ма = ─ Δh / х ^2.

үндсэн алгебрийн чиг үүрэг доор өгөгдсөн ялгааг.

дифференциал ашиглан Ойролцоо үр тооцоо

функц F (X), үнэлэх, түүний үүсмэл е "(х) х = а ихэнхдээ хэцүү байдаг үед ч амар хялбар биш юм х = а орчмын адил үйлдлийг хийх явдал. Дараа нь ойролцоо үзэл бодлоо илэрхийлэх тусламж ирж

е (а + Δh) ≈ е "(а) Δh + F (а).

Энэ нь ойролцоогоор түүний ялгаатай Δh F '(а) Δh дамжуулан жижиг цэгэн үед функцийн утгыг өгнө.

Тиймээс энэ томъёо хэсэгт (х = а) ба ижил гарааны цэг нь дифференциал эхлэх үед түүний үнэ цэнийн нийлбэрээр урттай Δh нь хэсгийн эцсийн цэгт үйл ажиллагаанд ойролцоогоор илэрхийлэл өгдөг. функцийн утгыг тодорхойлох аргын нарийвчлал доорх зураг харуулж байна.

Гэсэн хэдий ч мэддэг, үйл ажиллагааг х = а + Δh үнэ цэнийг томъёо хязгаарлагдмал Цэгэн өгсөн нь тодорхой илэрхийлэл (эсвэл өөр нэг арга нь, Lagrange-ийн томъёо)

е (а + Δh) ≈ е "(ξ) Δh + F (а),

цэг нь х = а + ξ, х = а нь х = а + Δh нь завсарт байгаа бол өөрийн тодорхой байр суурь тодорхойгүй байдаг боловч. яг томъёо ойролцоо томъёо алдааг үнэлэх боломжийг олгодог. Энэ нь үнэн зөв байхаа больсон боловч дүрмийн дагуу олгож, дифференциал хувьд анхны үзэл бодлоо чөлөөтэй илэрхийлэх бодвол илүү сайн арга боловч бид Lagrange томъёо ξ = Δh / 2 тавих юм бол.

дифференциал ашиглан үнэлгээ томъёо алдаа

хэмжих зарчмын хувьд, алдаатай болон алдаа хэмжлийн мэдээлэлд авчирдаг. Тэд хязгаарлах замаар тодорхойлогддог үнэмлэхүй алдаа, эерэг, тодорхой үнэмлэхүй утга (эсвэл тэнцүү хамгийн ихдээ) алдааг хэтэрсэн - хязгаар алдаа богино буюу. Хязгаарлах харьцангуй алдааг хэмжсэн утга үнэмлэхүй утга нь хувааж авсан харьцуулан тооцно гэж нэрлэдэг.

Let яг томъёо у = F (х) функц vychislyaeniya у ашиглаж, харин х утга хэмжилтийн үр дүн юм, тиймээс у алдааг авчирдаг. Дараа нь, томъёо ашиглан хязгаарлах үнэмлэхүй алдаа │Δu│funktsii у олох

│Δu│≈│dy│ = │ е "(х) ││Δh│,

хаана │Δh│yavlyaetsya ахиу алдаа баталгаа. │Δu│ тоо хэмжээ зэрэг дээш нь дугуйрсан байх ёстой буруу тооцоо нь өөрөө ялгаатай тооцоолох Цэгэн солих юм.