Нэг чиг үүрэг, хэд хэдэн хувьсагчуудын ялгавартай тооцооллоор

Дифференциал тооцооллоор Математикийн дүн шинжилгээ хийх, үүсмэл, зөрүү, үйл ажиллагааны судалгаанд тэдний хэрэглээг судалдаг салбар юм.

түүх

Дифференциал тооцооллоор 17-р зууны хоёрдугаар хагаст бие даасан сахилга бат зэрэг гарч, Ньютон, Leibniz, ялгавартай тооцох үндсэн заалтуудыг боловсруулж, нэгтгэх болон ялган хоорондын холболтыг анзаарч ажилд талархал илэрхийлье. сахилга бат хойш тэрээр хамт улмаар математик анализ үндсийг бүрдүүлж, интегралыг гаргахад интегралын тооцох нь боловсруулсан байна. Эдгээр calculi дүр төрх математикийн дэлхийд орчин үеийн шинэ үеийг нээсэн, шинжлэх ухааны шинэ салбарын бий болсон байна. Мөн байгалийн шинжлэх ухаан, инженерийн математик хэрэглэх боломжийг олгосон.

үндсэн ойлголтууд

Дифференциал тооцооллоор математикийн суурь бүтэц дээр суурилсан. Тэдгээр нь: бодит тоо, тасралтгүй болон функцийн хязгаар. Хэсэг хугацааны дараа, тэд нь орчин үеийн харагдах, салшгүй болон ялгавартай тооцооноос талархал авсан.

бий болгох үйл явц

өргөдлийг хэлбэрээр, дараа нь шинжлэх ухааны аргаар ялган тооцооноос үүсэх гүн ухааны онол, Николай Kuzansky бүтээсэн юм бий өмнө гарсан. Түүний ажил шүүлтийн эртний шинжлэх ухаан-аас эволюцийн хөгжлийн байх ёстой гэж үзэж байна. гүн ухаантан өөрөө математикч биш байсан хэдий ч, математикийн шинжлэх ухааны хөгжилд өөрийн хувь нэмрийг үгүйсгэх аргагүй юм. Cusa, хамгийн зөв шинжлэх ухаан зэрэг арифметикийн хэлэлцэхээс эхлээд нэг, математикийн асуулт руу цаг хугацаа тавих.

Эртний математикчдын бүх нийтийн шалгуур шинэ арга хэмжээ хязгааргүй гэж санал философич яг дугаарыг буцаах, харин нэгж байсан юм. Математикийн шинжлэх ухааны үнэн зөв нь энэ урвуу байрлалтай төлөөлөл холбогдуулан. Шинжлэх ухааны мэдлэг, өөрийн бодлоор, зохистой, ухаалаг хуваагддаг. Хоёр дахь илүү үнэн зөв, эрдэмтэн дагуу, хуучин нь зөвхөн Ойролцоо үр дүн өгдөг оноос хойш юм.

санаа

үндсэн санаа нь тодорхой цэгүүдэд жижиг хөрш үйл ажиллагаа нь холбоотой янз бүрийн тооцооноос тухай ойлголт. Учир нь энэ нь энэ нь шугаман функц, эсвэл олон гишүүнт зан ойр суулгасан оноо жижиг хөрш зан судалгаа ажиллахын тулд математик аппаратыг бий болгох шаардлагатай байна. үүсмэл болон ялгавартай энэ тодорхойлолт дээр суурилсан.

сэх деривативын үзэл баримтлал , байгалийн шинжлэх ухаан, математикийн асуудал, ижил төрлийн хязгаар утгууд тодорхойлоход хүргэсэн олон тооны үүдэлтэй юм.

хамгийн эртний сургуулийн анги эхлэн нь жишээ болон өгөгдсөн бөгөөд гол ажлуудын нэг нь шулуун шугамын, энэ муруйтай тангенс шугамын барилгын нэг цэгт хөдөлгөөний хурдыг тодорхойлох явдал юм. ялгаатай, энэ холбоотой нь шугаман функцийн цэг нь жижиг хөрш үйл ажиллагааг ойролцоо боломжтой оноос хойш.

Бодит хувьсагчийн функц нь деривативын үзэл баримтлал харьцуулахад ялгавартай тодорхойлолт зүгээр л ерөнхий шинж чанартай үйл ажиллагаа дээр, ялангуяа өөр нэг нь Евклидийн орон зай дүрсийг дамжуулдаг.

үүсмэл

у тэнхлэгийн чиглэлд цэг хөдөлгөөн байг, цаг хугацааны хувьд бид X, хэсэг зуур эхнээс хэмжинэ авна. Ийм хөдөлгөөнийг тайлбарлах функц Y = F (X), displaceable цэгийг координатын бүрт цэг х холбоотой байдаг гэхэд болох юм. механикийн Энэ функц нь дуудлага хөдөлгөөний хуулийг авч байна. хөдөлгөөний, ялангуяа тэгш бус, гол шинж юм агшин зуурын хурд. цэг нь механикийн хуулийн дагуу у тэнхлэгийн дагуу шилжиж байгаа үед санамсаргүй цаг цэг нь энэ х F (X) зохицуулах авсан. цаг цэг х + Δh, Δh цаг нэмэгдэх илэрхийлж, энэ нь F (х + Δh) kordinaty болно. Тиймээс үүссэн томъёо Δy = F (X + Δh) - е нь цэгэн функц гэж нэрлэдэг (х). Энэ нь X + Δh нь х-аас хугацаанд туулж зам нь цэг юм.

цаг деривативын үед хурдтай үүссэн холбогдуулан зохион байгуулдаг байна. тогтмол үед ямар ч үйл ажиллагаа нь үүсмэл (хэрэв байгаа гэж үзвэл) хязгаар гэж нэрлэдэг. Энэ нь тодорхой тэмдэгт заасан болно:

е "(х), Y ', Y, DF / DX, Ма / DX, Df (х).

дуудлагын ялгааг нь деривативын тооцох үйл явц юм.

хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн дифференциал тооцооллоор

функц нь судлах, хэд хэдэн хувьсагчийг тооцоолох үед энэ аргыг хэрэглэж байна. Хоёр хувьсагчууд х ба у, цэг А-д х хувьд хэсэгчилсэн үүсмэл байгаа үед тогтмол у нь х энэ үйл ажиллагаа үүсмэл гэж нэрлэдэг.

Дараах тэмдэг зааж болно:

е "(х) (х, у), у" (х), ∂u / ∂x болон ∂f (х, у) '/ ∂x.

Шаардлагатай ур чадвар

амжилттай сурч, нэгтгэх болон ялгаатай нь diffury шаардагдах ур чадварыг шийдвэрлэх чадвартай байх шаардлагатай. Энэ нь хялбар дифференциал тэгшитгэл ойлгох болгохын тулд сэдэв деривативыг, ойлгосон байх ёстой тодорхойгүй салшгүй. Мөн далд үйл ажиллагаа дериватив харахад суралцах нь гэмтээхгүй байх вэ. Энэ нь сургалтын үйл ажиллагаанд ихэвчлэн интегралууд болон ялгаа ашиглах болно гэдгийг холбоотой юм.

дифференциал тэгшитгэлийн төрөл

Бараг холбоотой бүх хяналтын ажлын эхний захиалга дифференциал тэгшитгэлийн, салангид хувьсагч нь нэгэн төрлийн, шугаман нэгэн төрлийн бус: тэгшитгэлийн 3 төрөл байдаг.

Нийт ялгавартай, Bernoulli-ийн тэгшитгэл болон бусад илүү ховор зүйл тэгшитгэл бас байдаг.

үндэс шийдэл

Эхлээд бид санаж байх ёстой сургууль мэдээж алгебрийн тэгшитгэл юм. Тэд хувьсагчууд болон тоо агуулсан байдаг. ердийн тэгшитгэл нь тодорхой нөхцөлийг хангаж тоо хангалттай олох ёстой шийдэхийн тулд. Ерөнхийдөө эдгээр тэгшитгэл нэг үндэс байна, магадлагаа зөвхөн үл мэдэгдэх газар руу энэ утгыг орлуулж байх ёстой.

дифференциал тэгшитгэл энэ төстэй юм. Ер нь нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл бүрдэнэ:

• Бие даасан хувьсагч.
• Эхний үйл ажиллагаа нь дериватив.
• Чиг үүрэг, эсвэл хамааралтай хувьсагч.

Зарим тохиолдолд хэн ч үл мэдэгдэх, х эсвэл у байж болно, гэхдээ энэ нь шийдэл болон ялгавартай тооцооноос нь ямар ч дээд эрэмбийн үүсмэл нь эхний деривативыг байх шаардлагатай нь үнэн байсан тул энэ нь чухал биш юм.

дифференциал тэгшитгэлийг бодох - энэ нь тохиромжтой өгсөн илэрхийлэл байгаа бүх үйл ажиллагааны цогц олох гэсэн үг юм. чиг үүрэг ийм багц нь ихэвчлэн ерөнхий шийдэл хяналт гэж нэрлэдэг.

салшгүй тооцооллоор

Интеграл тооцооллоор Математикийн дүн шинжилгээ хийх, салшгүй, шинж чанар, түүнийг тооцох арга үзэл баримтлалыг авч үзсэн хэсгүүдэд нэг юм.

салшгүй тооцоо нь ихэвчлэн curvilinear дүрсийн талбайг тооцох үед тохиолддог. Энэ нь хязгаар газар аль зүг гарт нь аажмаар нэмэгдэж,, мэдээлэл талд нь бичээстэй Полигон хэлбэр нь урьдчилан тодорхойлсон талбай ямар ч өмнө нь заасан дур мэдэн жижиг үнээс доогуур хийж болно гэсэн үг.

ямар ч геометрийн дүрсийн талбайг тооцох гол санаа нь тэгш өнцөгтийн талбай тооцох, дараа нь газар нутгийн өргөн өөр урттай үржвэртэй тэнцүү нотолгоо юм. Энэ нь геометрийн ирэхэд, дараа нь бүх барилга байгууламж нь захирагч, луужин ашиглаж хийсэн, дараа нь өргөн урттай харьцаа нь оновчтой утга юм. зөв гурвалжны талбайг тооцох үед та дараагийн гурвалжин тавих юм бол, нэг тэгш өнцөгт бий гэж тодорхойлж болно. параллелограмм салбарт тэгш өнцөгт болон гурвалжин дотор төстэй боловч арай илүү төвөгтэй аргаар тооцно. олон өнцөгт нутагт Хэрэв багтсан гурвалжин үзэж байна.

дур мэдэн өршөөл тодорхойлохдоо, энэ арга нь муруй багтахгүй байна. Бид бие даасан квадратуудын болгон эвдэж бол, энэ нь цэнэггүй газар хэвээр байх болно. Энэ тохиолдолд дээрх болон доорх тэгш өнцөгт нь хоёр дээл ашиглахыг оролдож буй үр дүнд функцийн график оруулах, агуулдаггүй. энд чухал нь эдгээр тэгш өнцөгтийн эвдэх арга зам юм. Мөн бид завсарлага илүү их, илүү багасгаж авбал, дээд ба доод талбай тодорхой үнэ дээр шилжих ёстой.

Энэ нь тэгш өнцөгт болгон салгах нь аргын буцаах хэрэгтэй. хоёр алдартай арга байдаг.

Riemann дэд граф талбай зэрэг Leibniz болон Ньютон бүтээсэн, салшгүй тодорхойлолтыг албан ёсны юм. Энэ тохиолдолд бид интервалыг хувааж авсан босоо тэгш өнцөгтийн тодорхой тооны бүрдсэн зураг гэж үздэг. буурчээ зөрчсөн тохиолдолд ямар ийм зураг бууруулсан талбай нь, энэ хязгаарлалт нь тодорхой интервалаар нь функцийн Riemann салшгүй гэдэг хязгаар байдаг.

Хоёр дахь арга нь тусгаарлах оронд, integrand нэг хэсэг дээр газар томилсон гэж, дараа нь эдгээр газрууд дахь авсан утгуудын салшгүй нийлбэр хөрвүүлж интервал утгын хүрээгээ хувааж үед, дараа нь холбогдох арга хэмжээ нь эдгээр интегралыг гаргахад интегралын нь урвуу дүрс бүхий дугнэж үнэндээ бүрдсэн Lebesgue салшгүй барьж байгуулах явдал юм.

орчин үеийн аппарат

дифференциал болон интеграл тооцооллоор Fikhtengol'ts судлахад гол ашиг нь нэг нь бичсэн - "дифференциал болон интеграл тооцооноос нь." Түүний сурах бичиг математик шинжилгээ судалгаа, бусад хэл рүү олон хэвлэлийг болон орчуулгыг сөрөн зогссон нь үндсэн хэрэгсэл юм. оюутан болон судалгааны гол ашиг нь нэг боловсролын байгууллагын янз бүрийн ашигласан нь удаан хугацааны туршид бий болгосон байна. Энэ нь онолын мэдээлэл, практик ур чадварыг өгдөг. Эхлээд 1948 онд хэвлэгдсэн.

Алгоритм эрдэм шинжилгээний үйл ажиллагаа

дифференциал тооцооллоор функцийн аргыг судлах, та дагах аль хэдийн өгсөн байна алгоритм хэрэгтэй:

1. функцийн домэйныг хай.
2. өгсөн тэгшитгэлийн үндэс хай.
3. хязгаарыг тооцоолно. Үүнийг хийхийн тулд бид деривативыг болон цэг нь тэгтэй тэнцүү байна тооцоолно.
4. Бид Тэгшитгэл олж авсан үнэ цэнийг солиорой.

дифференциал тэгшитгэлийн сорт

Эхний тулд (нэг хувьсагчийн өөрөөр, дифференциал тооцооллоор), тэдний төрөл хяналт:

• F (у) Ма = г (х) DX: салангид хувьсагчид тэгшитгэл нь.
• томъёог байх нэг хувьсагчийн энгийн тэгшитгэл эсвэл ялгаатай тооцооллоор функц: Y '= F (X).
• шугаман эхний захиалга nonuniform хяналтын: Y '+ P (X) у = Q (X).
• Bernoulli дифференциал тэгшитгэл: Y '+ P (X) у = Q (х) у а.
• нийт ялгаатай тэгшитгэл: P (X, Y) DX + Q (X, Y) Ма = 0.

Хоёр дахь тулд, тэдний төрөл дифференциал тэгшитгэл:

• тогтмол ^{коэффициенттэй} төрлийн шугаман хоёр дахь зэрэг ялгаатай тэгшитгэл ^{нь: у N + PY '+ QY} = 0 P, Q R. харьяалагддаг
• тогтмол коэффициент ^{утгатай} нэгэн төрлийн бус шугаман хоёр дахь зэрэг ялгаатай тэгшитгэл ^{нь: у N + PY '+ QY} = F (X).
• Нэг төрлийн шугаман дифференциал ^{тэгшитгэл нь: у N + P (X)} Y '+ Q (х) у = 0 ба нэгэн төрлийн бус хоёр дахь зэрэг ^{тэгшитгэл нь: у N + P (X)} Y' + п (х) у F = (X).

Дээд захиалга болон тэдний төрөл дифференциал тэгшитгэл:

• дифференциал тэгшитгэл, ^дэг бууруулах ^{боломжийг: F (X, Y (к} ), Y (к + ^{1), .., Y (N)} = 0.
• ^{_{у (N) + F (:}} дээд эрэмбийн ^{_{нэгэн төрлийн}} шугаман тэгшитгэл n- ₁₎ у ^(N-1) + ... + ₁ у е "+ ₀ у = 0 ба ^{_{нэгэн төрлийн бус е: у (N) + F (}} N _-1) у ^(N-1) + ... + ₁ у е '+ F ₀ Y = F (X).

дифференциал тэгшитгэл нь асуудлыг шийдвэрлэх үе шатууд

алсын хяналтын туслах нь зөвхөн математик болон физикийн асуудлуудыг ч мөн биологи, эдийн засаг, социологи болон бусад янз бүрийн асуудлыг шийдэж байгаа нь. сэдвийн янз бүрийн үл харгалзан, эдгээр асуудлыг шийдвэрлэх нэг логик дарааллыг баримтлах ёстой:

1. хяналтыг хүртэл зураг. хамгийн хэцүү үе, хамгийн үнэн зөв байх шаардлагатай ямар нэгэн алдаа огт буруу үр дүнд хүргэж болно, учир нь нэг юм. Энэ дансанд үйл явцыг нөлөөлөх бүх хүчин зүйлийг авч, эхний нөхцлийг тодорхойлох шаардлагатай байна. Энэ нь бас баримт, логик дүгнэлт дээр тулгуурласан байх ёстой.
2. тэгшитгэлүүдийг шийдвэрлэх нь. Энэ нь математик тооцоо зөвхөн чанд хэрэгжилтийг шаарддаг тул энэ үйл явц, эхний цэг илүү хялбар байдаг.
3. Дүн шинжилгээ хийх, үр дүнг үнэлэх. Олсон шийдэл нь үр дүнгийн практик болон онолын утгын суулгахын тулд үнэлж байх ёстой.

дифференциал ашиглах нэг жишээ нь анагаах ухаанд тэгшитгэлийн

анагаах ухааны чиглэлээр алсын удирдлага ашиглах эпидемиологийн математик загвар нь барилгын салбарт байдаг. энэ нь чухал үүрэг өөр өөр биологийн хүн ам, хүний биед явагдах химийн процессын судалгаа гүйцэтгэдэг учраас бид эдгээр тэгшитгэл нь мөн биологи, хими, анагаах ухаан ойрхон байна олж болно гэдгийг мартаж болохгүй.

Энэ жишээн дээр, халдварын тархалт тархах нь алслагдсан орон нутагт эмчилж болно. оршин суугчид нь гурван төрлийн хуваагддаг:

• Халдвартай, тус бүр нь халдвартай х тоо (т), хувь хүмүүс, халдварт тээгч бүрдэж, (Өвчний далд үе нь богино байдаг).
• Хоёр дахь төрөл мэдрэмтгий хүмүүс у (T), халдвартай холбоо-ын халдвар авсан байж болно багтана.
• Гурав дахь төрөл нь дархлааны эсвэл өвчний улмаас алдсан нь галд тэсвэртэй хувь Z (T) орно.

хувь хүмүүсийн тоо байнга төрүүлж байлгах, байгалийн нас баралт, шилжих хөдөлгөөн гэж үзэж байна. Гол нь хоёр таамаглал байх болно.

хэсэг хугацааны цэгт Хувь өвчин X (T) у (T) (өвчтөн болон хариуцлагатай гишүүний хооронд уулзвар тоотой хувь тэнцүүлэн тохиолдлын тоо анх ойролцоо д х пропорциональ гэсэн онол дээр суурилсан таамаглал (T) у (T)) нь тэнцүү Тиймээс тохиолдлын тоо нэмэгдэж байгаа бөгөөд томъёо сүх (T) у (T) тооцно хурдаар өртөмтгий буурсан тоо (а> 0).

нас барсан, эсвэл дархлаа олж авсан, тохиолдлын тоо, BX (T) (б> 0) пропорциональ байна хурдаар нэмэгдэж бус оролцогчийн малын тоо.

Үүний үр дүнд та түүний дүгнэлтийг үндэслэн гурван шалгуур үзүүлэлтийн хамт тэгшитгэлийн системийг тохируулж болно.

ЖИШЭЭ ашиглах эдийн засгийн

Дифференциал тооцооллоор ихэвчлэн эдийн засгийн шинжилгээнд хэрэглэдэг. эдийн засгийн шинжилгээнд гол зорилго үйл ажиллагааны хэлбэрээр бичигдсэн байдаг эдийн засгийн үнэ цэнэ, судалгаа гэж үзэж байна. Энэ нь юу нь хувь шинэ тоног төхөөрөмж нь тэтгэвэрт гарсан ажилтан орлуулж болно нэн даруй дараа орлогын албан татварын өсөлт өөрчлөлт, тэмдэглэл төлбөр, бүтээгдэхүүний үнэ цэнийг өөрчлөгдөж орлогын өөрчлөлт зэрэг асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглаж байна. Ийм асуудлыг шийдэхийн тулд, энэ нь ирж байгаа хувьсагчууд, дифференциал тооцооноос судалж байгаа дараа нь холбооны үйл ажиллагааг барих шаардлагатай байна.

дээд тал нь бүтээмж, хамгийн өндөр орлого, наад зах нь зардал гэх мэт: Энэ нь эдийн засгийн салбар дахь хамгийн оновчтой гүйцэтгэлийг олох нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг. Ийм бүрэлдэхүүн хэсэг бүр нь нэг буюу хэд хэдэн нэмэлт өгөгдлүүд нь үйл ажиллагаа юм. Жишээ нь, үйлдвэрлэлийн хөдөлмөр болон капиталын функц гэж үзэж болно. Үүнтэй холбогдуулан, тохиромжтой үнэ цэнийг олж нэг буюу түүнээс олон хувьсагчийн функцийн хамгийн их буюу доод тал нь олох хүртэл багасгаж болно.

Ийм асуудал нь та ялгавартай Тооцоолон бодох хэрэгтэй, эдийн засгийн салбар дахь extremal асуудал нь анги бий. Эдийн засгийн үзүүлэлт багасгах болон бусад параметрүүдийг функц болгон нэмэгдүүлэх шаардлагатай бол нэмэлт өгөгдлүүд нь цэгэн харьцаа дээд цэг үйл ажиллагаа маргаан цэгэн тэг хандлагатай бол тэг хандлагатай байдаг. Өөрөөр хэлбэл, ийм хандлага нь тодорхой эерэг ба сөрөг утга хандлагатай үед тодорхой цэг нь тохиромжтой биш, аргументыг нэмэгдүүлэх эсвэл бууруулах замаар хүссэн чиглэлд хамааралтай утгыг өөрчилж болно, учир нь юм. дифференциал тооцооллоор нэр томъёо, энэ нь дээд тал нь үйл ажиллагаанд шаардагдах нөхцөл нь деривативын тэг утга байна гэсэн үг юм.

эдийн засаг, учир нь эдийн засгийн үзүүлэлтүүд нь олон хүчин зүйлүүдээс бүрдсэн байна, хэд хэдэн хувьсагч нь функцийн экстремаль олох нь ховор асуудал биш юм. Ийм асуудал мөн хэд хэдэн хувьсагчуудын, дифференциал тооцох аргын үйл ажиллагааны онолын хувьд ойлгож байна. Ийм асуудал нь зөвхөн хязгаарлагдмал хамгийн их ордог биш, үйл ажиллагааг хамгийн бага, бас. Эдгээр асуултууд нь математик програмчлал холбоотой, тэд тусгайлан боловсруулсан арга тусламж мөн шинжлэх ухааны энэ салбар дээр тулгуурласан байдаг нь шийдэж байна.

эдийн засагт ашиглаж ялгавартай тооцооноос аргын дотроос нэг чухал хэсэг нь туйлын тест юм. Эдийн засгийн салбарт, хугацааны хувьсах гүйцэтгэлийн судалгааны арга нь багц хэлнэ, та нар тэдний хязгаар нь утгын шинжилгээнд үндэслэн бий болгох, хэрэглээний хэмжээг өөрчлөх үед үр дүн. заалт гэж үзэж деривативыг буюу хэд хэдэн хувьсагч нь хэсэгчилсэн дериватив хязгаарлах.

хэд хэдэн хувьсагчуудын ялгавартай тооцооллоор - Математикийн дүн шинжилгээ хийх нь чухал сэдэв. дэлгэрэнгүй судалгаа нь, хэрэв та дээд боловсролын байгууллагуудын сургалтын ДОХ-ын төрөл бүрийн ашиглаж болно. "Дифференциал болон интеграл тооцооноос байна." - хамгийн алдартай бий Fikhtengol'ts нэг чухал ач холбогдол бүхий ялгаатай тэгшитгэлийн шийдэл хэр нэр их интегралыг гаргахад интегралын хамтран ажиллах ур чадвартай байх юм. нэг хувьсагчийн функцийн нь ялгаатай тооцооллоор байгаа үед шийдвэр илүү хялбар болдог. энэ нь тэмдэглэх нь зүйтэй боловч, энэ нь нэг үндсэн дүрэм журмыг дагадаг. Бодит байдал дээр, дифференциал тооцооноос үйл ажиллагааг судлах, зүгээр л шинэ хувьсагч нэвтрүүлэх нь аль хэдийн байгаа алгоритм, ахлах сургуульд өгсөн бөгөөд зөвхөн бага зэрэг төвөгтэй дагадаг.