Шугаман болон эхний захиалгын төрлийн дифференциал тэгшитгэл. шийдлийн жишээ

Бид дифференциал тэгшитгэлийн зэрэг алдар суут математик арга хэрэгсэл түүхтэй эхлэх ёстой гэж бодож байна. бүх дифференциал болон интеграл тооцооноос нэгэн адил эдгээр тэгшитгэл сүүлээр 17-р зууны Ньютон зохион бүтээсэн байна. Тэр ч байтугай шифрлэсэн мэдээ, өнөөдөр гэж орчуулж болно дараах тийм чухал нь түүний ололт байсан гэж үздэг ". Дифференциал тэгшитгэлийн тайлбарласан шинж чанартай бүх хууль" Энэ нь дэндсэн юм шиг санагдаж болно, гэвч энэ нь үнэн юм. физик, хими, биологийн аливаа хууль, эдгээр тэгшитгэлийн тайлбарласан болно.

дифференциал тэгшитгэлийн онол боловсруулах, бий болгоход асар их хувь нэмэр Эйлерийн болон Lagrange нь математик байна. Аль хэдийн 18-р зууны үед тэд нээсэн, одоо ахлах сургуулийн хичээлд суралцаж юу боловсруулсан.

дифференциал тэгшитгэлийн судалгаанд шинэ амжилт гаргасан Anri Puankare талархал эхэлсэн байна. орон зай, түүний шинж чанарыг шинжлэх ухаан - Тэр, нарийн төвөгтэй хувьсагчийн функцийн онол хосолсон бүтэц сууриас ихээхэн хувь нэмэр оруулсан нь "дифференциал тэгшитгэлийн чанарын онол" бий болгосон байна.

дифференциал тэгшитгэл гэж юу вэ?

Олон хүмүүс хэллэг айж байна "дифференциал тэгшитгэл". Гэсэн хэдий ч, энэ зүйлд бид гарч нарийвчлан энэ маш ашигтай математик арга хэрэгсэл нь үнэндээ энэ нь гарчиг нь бололтой шиг төвөгтэй биш юм мөн чанарыг тохируулах болно. Нэгдүгээр зэрэг ялгаатай тэгшитгэлийг тухай ярих эхлэх тулд та эхлээд угаасаа энэ тодорхойлолтод холбоотой үндсэн ойлголтууд танилцах ёстой. Тэгээд бид дифференциал эхлэх болно.

дифференциал

Олон хүн энэ нэр томъёог ахлах сургуульд оноос хойш мэднэ. Гэсэн хэдий ч, одоо ч нарийвчлан үүн дээр оршин суудаг. функцийн график гээд төсөөлөөд үз дээ. Бид түүний хэсгийн аль нэг нь шулуун шугам болдог ийм хэмжээгээр түүнийг нэмэгдүүлэх болно. Энэ нь бие биедээ хязгааргүй ойрхон байгаа хоёр оноо авч болно. Тэдний координатын (X, эсвэл у) хоорондын ялгаа өчүүхэн юм. Мөн энэ нь ялгаатай гэж нэрлэдэг бөгөөд тэмдэгт Ма (Y ялгаатай) болон DX (X ялган) томилно. Энэ нь янз бүрийн эцсийн утга биш юм гэдгийг ойлгох нь чухал юм, энэ утга санаа, гол үйл ажиллагаа юм.

Харин одоо та дараах элементүүдийг бид дифференциал тэгшитгэл ойлголтыг тайлбарлах хэрэгтэй болно авч үзэх ёстой. Энэ нь - дериватив.

үүсмэл

Сургууль, энэ ойлголтын дор бид бүгд сонссон байх ёстой. өсөлт, үйл ажиллагаа нь буурсан үнэ юм - тэд үүсмэл гэж хэлж байна. Гэхдээ энэ тодорхойлолт нь илүү их будлиантай болж байна. АНУ-ын ялгавартай үүсмэл нэр томъёог тайлбарлаж оролдоод үзье. хоёр оноо, бие биенээсээ хамгийн бага зайд байрладаг буцаж өчүүхэн интервал үйл ажиллагаа явж үзье. Харин ч энэ зайд үйл ажиллагаа гадна зарим нэг утгыг өөрчлөх цаг болжээ. Энэ өөрчлөлтийг тодорхойлж, өөрөөр ялгавартай харьцаа гэж бичиж болно нь деривативын гаргаж ирж: F (х) '= DF / DX.

Одоо деривативын үндсэн шинж чанарыг авч үзэх шаардлагатай байна. гурван л байдаг:

1. Үүсмэл сум, ялгаа нь деривативын сум, зөрүү гэж илэрхийлж болно: (а + б) + B ", болон (AB) '= a'-B' 'A =".
2. Хоёр дахь үл хөдлөх хөрөнгийн үржүүлэх нь холбогдсон байна. - үүсмэл ажил өөр деривативын нэг функцийн ажлын нийлбэр нь: (а * б) '= нь "* B + нь * б".
3. (А / б) '=: зөрүүний үүсмэл дараах тэгшитгэлээр байдлаар бичиж болно / B (а "* Ба * б") ^2.

Эдгээр онцлогууд нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл ялгаатай шийдлийг олоход нь уран ирж.

Мөн хэсэгчилсэн уламжлалууд байдаг. Бид Z, хувьсагчууд х ба у хамаардаг нь үйл ажиллагаа байна гэж бодъё. Энэ үйл ажиллагааг хэсэгчилсэн деривативыг тооцохын тулд, жишээ нь, х бид тогтмол ялгахад хялбар хувьсах у авах хэрэгтэй.

салшгүй

Өөр нэг чухал үзэл баримтлал - салшгүй. Үнэн хэрэгтээ энэ нь деривативын эсрэг юм. Интегралууд хэд хэдэн төрөл байдаг, гэхдээ дифференциал тэгшитгэлийн хамгийн энгийн шийдэл, бид хамгийн амархан хэрэгтэй тодорхойгүй интегралууд.

Тэгэхээр салшгүй юу юм бэ? -ын бид х е зарим харилцаатай байдаг гэж үзье. Бид салшгүй Хэрэв-аас авч, функц F (X) (энэ нь ихэвчлэн командын гэж нэрлэх нь бий), анхны үйл ажиллагаа нь үүсмэл юм олж авах хэрэгтэй. Тиймээс F (X) '= F (X). Энэ нь деривативын салшгүй анхны үйл тэнцүү байна гэсэн үг юм.

дифференциал тэгшитгэлийн шийдвэрлэхэд энэ нь салшгүй утга агуулга, үйл ажиллагааг ойлгох нь ихэвчлэн шийдлийг олохын тулд тэднийг авах ёстой оноос хойш маш чухал юм.

тэгшитгэл тэдгээрийн шинж чанараас шалтгаалан өөр өөр байдаг. Дараагийн хэсэгт бид эхлээд зэрэг ялгаатай тэгшитгэлийн төрлийн харах болно, дараа нь тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх сурдаг.

дифференциал тэгшитгэлийн анги

"Diffury" Тэдний оролцсон үүсмэл тушаалаар хуваана. Тиймээс эхний, хоёр дахь, гурав дахь буюу түүнээс дээш захиалга байна. энгийн болон хэсэгчлэн: Тэд мөн хэд хэдэн ангилалд хувааж болно.

Энэ нийтлэлд бид эхлээд тулд ердийн дифференциал тэгшитгэл бодох болно. Жишээ нь ба шийдэл бид дараах хэсгүүдэд хэлэлцэнэ. Энэ тэгшитгэлийн хамгийн нийтлэг төрөл учраас бид зөвхөн Tac үзэж байна. Энгийн дэд зүйл хуваагдана: салангид хувьсагчуудын, нэгэн төрлийн болон нэг төрлийн бус байна. Дараа нь та тэдгээр нь өөр хоорондоо ялгаатай хэрхэн суралцах, тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх сурах болно.

Үүнээс гадна, ингэснээр бид эхлээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн системийг авч дараа нь эдгээр тэгшитгэл нэгтгэж болно. Ийм систем, бид ч бас харж, шийдвэрлэх хэрхэн суралцдаг.

Яагаад бид зөвхөн эхний захиалга авч байна вэ? Энэ нь нэг зүйлд, энгийн эхлэх ба дифференциал тэгшитгэлийн холбоотой бүх тайлбарлах шаардлагатай байдаг учраас энэ нь боломжгүй юм.

салангид хувьсагч нь тэгшитгэл

Энэ нь магадгүй хамгийн энгийн эхний зэрэг ялгаатай тэгшитгэл юм. у '= F (X) * F (у): Эдгээр байдлаар бичиж болно жишээ юм. у '= Ма / DX: Энэ тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид ялгавартай харьцаагаар үүсмэл дүрслэл томъёо хэрэгтэй байна. Ма / DX = F (X) * F (у): Хэрэв бид тэгшитгэлийг олж авах хэрэгтэй. хувьсагчуудыг хэсэгт, өөрөөр хэлбэл хурдан урагш бүх Хувьсах Y хэсэг Ма байдаг нь салгаж, мөн хувьсах х болгох ...: Одоо бид стандарт жишээ шийдвэрлэх арга хандаж болно хоёр хэсгээс интегралууд авч хангаж байна Ма / F (Y) = F (X) DX: Бид хэлбэр нь тэгшитгэлийг олж авах хэрэгтэй. тогтмол талаар та нэгтгэх дараа байрлуулахыг хүсэж гэдгийг мартаж болохгүй.

аливаа "diffura" -ийн шийдэл - (бидний тохиолдолд) нь х у өөр үйл ажиллагаа, эсвэл тоон нөхцөл байгаа бол, хариулт нь тоо юм. АНУ-ын нэг тодорхой жишээ шийдвэрийг бүхэлд нь курс авч үзье:

у '= 2y * нүгэл (X)

өөр өөр чиглэлд хувьсагчуудыг шилжүүлэх:

Ма / у = 2 * нүгэл (х) DX

Одоо интегралууд авна. Эдгээр нь бүгд интегралыг гаргахад интегралын тусгай хүснэгтэд олж болно. Тэгээд бид авах:

LN (Y) = -2 * COS (X) + C

Шаардлагатай бол бид "X" функц нь "у" илэрхийлж болно. Одоо бид тодорхой нөхцөл биш бол бидний дифференциал тэгшитгэл, шийдвэрлэж байна гэж хэлж болно. Жишээ нь, Y (N / 2) = и хувьд нөхцөл заасан байж болно. Дараа нь бид зүгээр л шийдвэр эдгээр хувьсагчуудын утгыг орлох болон тогтмол үнэ цэнийг олж мэдэх болно. Бидний жишээн дээр 1 юм.

Нэг төрлийн эхний захиалга дифференциал тэгшитгэл

Одоо илүү төвөгтэй хэсэгт байна. у '= Z (X, Y): нэг төрлийн эхний захиалга дифференциал тэгшитгэл ерөнхий хэлбэрээр бичиж болно. Энэ нь хоёр хувьсагчийн зөв үйл ажиллагаа жигд байна гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй бөгөөд энэ нь хамаарч хоёр хэсэг болгон хувааж чадахгүй байгаа: Z х ба у Z. тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн байна, үгүй эсэхийг шалгах маш энгийн: бид орлуулах х = K * х ба у = K * Y болгож байна. Одоо бид бүх к бууруулсан байна. Эдгээр захидал буурсан бол, дараа нь тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн, аюулгүй түүний уусмал гүйцэтгэж болно. Ирээдүйд бид хэлж байна: Эдгээр жишээнүүд нь уусмал зарчим нь маш энгийн юм.

, Y = T (X) * X хаана T - бас х хамаардаг функц: Бид орлуулах хэрэгтэй. у '= T' (х) * X + T: Дараа нь бид деривативыг илэрхийлж болно. Бидний анхны тэгшитгэл болгон энэ бүх орлох, түүнийг хялбаршуулсан, бид х зэрэг хувьсагчид тонн тусгаарлах жишээ байна. Үүнийг шийдвэрлэх, T (X) -ийн хамаарлыг олж авах хэрэгтэй. бид үүнийг ирэхэд нь ердөө л бидний өмнөх орлуулах Y = T (х) * х солиорой. Дараа нь бид х дээр у хамаарлыг олж авах хэрэгтэй.

X * Y '= YX *: энэ нь илүү тодорхой болгохын тулд бид жишээ ойлгож болно и у / х.

бүх буурч солих шалгах хэрэгтэй. Тиймээс тэгшитгэл нь үнэхээр нэгэн төрлийн байна. Одоо өөр орлуулалтыг хийж, бид тухай ингэж ярьжээ: Y = T (х) * х ба у '= T' (х) * X + T (х). хялбарчлах дараа дараах тэгшитгэл нь: T '(х) * х = -e т. Бид Салж хувьсагч нь дээж авах шийдвэр гаргаж, бид ^{авах: И -t = LN (C *} X). Бид зүгээр л гэхэд Т солих хэрэгтэй у / х (Y = бол т * X, дараа нь T = Учир нь у / х), бид ^{хариу авах: И -y / X = LN (} х * C).

Эхний тулд шугаман дифференциал тэгшитгэл

Энэ нь өөр нэг өргөн сэдвийг авч үзэх цаг нь болсон. Бид төрлийн бус эхний захиалга дифференциал тэгшитгэл харагдах болно. Тэд хэрхэн Өмнөх хоёр ялгаатай байна вэ? -ын үүнийг тулгарч үзье. тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэрээр шугаман эхний зэрэг ялгаатай тэгшитгэл ийн бичиж болно: у '+ г (X) * у = Z (X). Энэ Z (X) болон г (X) тогтмол утга байх болно гэдгийг тодорхой болгох ёстой.

- у * х = Y ': Энд нэг жишээ х ^2.

шийдвэрлэх хоёр арга байдаг бөгөөд бид биднийг хоёуланг нь авч үзье захиалах. Эхний - дур мэдэн тогтмол өөрчлөлтийн арга.

Энэ маягаар тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд энэ нь тэг анхны баруун гар талд тэнцэхгүй, болон дараа нь хэсгээс шилжүүлэх болж үр дүнд нь тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай байна:

у '= Y * х;

Ма / DX = Y * х;

Ма / у xdx =;

LN | у | = X ^2/2 + C;

у = и ^{x2 / 2} * ^С у = C ₁ * и ^{x2 / 2.}

Одоо үйл ажиллагаа V (х), бид олох болно байнгын Г ₁ солих шаардлагатай.

Y = V * И ^{x2 / 2.}

солих деривативыг зур:

^{у '= V' * И x2} / ² -x * V * И ^{x2 / 2.}

Мөн эдгээр илэрхийлэл анхны тэгшитгэл болгон солих:

V '* И ^{x2 / 2} - х * V * И ^{x2 / 2} + х * V * И ^{x2 / 2} = х ^2.

Та хоёр талаас зүүн талд буурч байгааг харж болно. зарим нэг жишээ нь тийм юм болоогүй юм бэ гэж бол та ямар нэгэн буруу зүйл хийсэн. Бид үргэлжлүүлэн:

V '* И ^{x2 / 2} = х ^2.

Одоо бид та хувьсагчуудыг салгаж хүсэж байгаа ердийн тэгшитгэлийг шийдэх:

DV / DX = X ^{2 /} д ^x2 / ^2;

DV = X ² * И ^{- x2 / 2} DX.

салшгүй устгахын тулд бид энд хэсгүүдээр нэгдмэл хэрэглэх хэрэгтэй. Гэсэн хэдий ч, энэ нь энэ зүйлийн сэдэв биш юм. Хэрэв та сонирхож байгаа бол та ийм ажиллагаа явуулах өөрсдөө сурч болно. Энэ нь хэцүү биш бөгөөд энэ нь хангалттай ур чадвар болон тусламж цаг хугацаа их шаардсан байна.

Bernoulli арга: Хоёр дахь арга нь нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдэл илэрхийлдэг. Ямар арга барил нь илүү хурдан, илүү хялбар байдаг - энэ нь та нарт хүртэл юм.

Y = K * N: Тэгэхээр энэ аргыг шийдвэрлэх үед бид орлуулалт хийх хэрэгтэй. Энд к болон N - зарим чиг үүргийг X хамааран. '= K' * N + K * N 'Y: Дараа нь үүсмэл мэт харагдах болно. тэгшитгэлд орлуулж хоёр орлуулах:

K '* N + K * N ' + х * K * N = х ^2.

Групп хүртэл:

K '* N + K * ( N' + х * N) = X ^2.

Одоо шаардлагатай гэдгийг хаалтанд байна, тэг тэнцүү юм. Одоо та хоёр үр дүнд тэгшитгэлүүдийг хамтад нь бол бид эхлээд зэрэг ялгаатай тэгшитгэлийн систем шийдвэрлэж болно авна:

N '+ х * N = 0;

K '* N = х ^2.

Эхний тэгш байдал хэрхэн ердийн тэгшитгэлийг шийдэх. Үүнийг хийхийн тулд та хувьсагчийг ялгах хэрэгтэй:

DN / DX = X * V;

DN / N = xdx.

Бид салшгүй авч, бид авах: LN (N) = х ^2/2. Дараа нь бид N илэрхийлэх бол:

N = и ^{x2 / 2.}

Одоо үр дүнд тэгшитгэлийг хоёр дахь тэгшитгэл болгон орлуулж:

K '* И ^{x2 / 2} = х ^2.

Тэгээд бид эхний аргын адил тэгшитгэлийг олж авах, өөрчлөх:

Дани = X ^{2 /} д ^x2 / ^2.

Мөн бид цаашид арга хэмжээ хэлэлцэх болно. Энэ нь анх удаа эхний захиалга дифференциал тэгшитгэлийн дахь шийдэл нь ихээхэн хүндрэл учруулж гэж байна. Гэсэн хэдий ч, сэдвийг гүнзгий суух илүү сайн, илүү сайн авч эхэлж байна.

дифференциал тэгшитгэл хаана байна вэ?

физикийн ашигласан маш идэвхтэй дифференциал тэгшитгэл, зэрэг бараг бүх үндсэн хууль ялгавартай хэлбэрээр бичигдсэн байдаг ба тэдгээр томъёо, бид харж - Энэ тэгшитгэлийн шийдэл. хими, тэд ижил шалтгаанаар ашиглах болно: үндсэн хууль тэднээр дамжуулан уламжилсан байна. олз - биологи онд дифференциал тэгшитгэл гэх араатныг систем, зан загварчлахад ашиглагддаг. Тэд мөн нөхөн үржихүйн загвар, жишээ нь, бичил биетний колони үүсгэхэд ашиглагдаж болно.

дифференциал тэгшитгэл амьдралд нь туслах уу?

Энэ асуултын хариулт нь маш энгийн: юу ч биш. Хэрэв та эрдэмтэн, эсвэл инженер биш юм бол, энэ нь тэдгээр нь ашигтай байх болно гэсэн магадлал бага юм. Гэсэн хэдий ч, ямар ялгаатай тэгшитгэлийг мэдэх нь гэмтээхгүй байх, энэ нь нийт хөгжлийн шийдэж байна. Тэгээд дараа нь хүү, эсвэл охин нь асуулт нь "ямар ялгаатай тэгшитгэл?" Үхсэн эцэст нь та нарт тавьж байхгүй бол. За, та эрдэмтэн, эсвэл инженер бол та ямар ч шинжлэх ухааны Энэ сэдвийн ач холбогдлыг мэдэж байна. Гэхдээ хамгийн гол нь одоо асуултанд нь "хэрхэн нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдэх вэ?" та үргэлж хариулт өгөх боломжтой байх болно. Хүлээн зөвшөөрч, энэ нь та ямар хүмүүс олохын тулд бүр ч айж байна гэдгийг ойлгох үед гоё үргэлж байдаг.

Судалгааны гол асуудлууд

Энэ сэдвийн ойлголт гол асуудал нь хамтын ажиллагааны болон ялгаатай чиг үүрэг нь муу зуршил юм. Хэрэв та эвгүй юм дериватив ба интегралууд тооцдог бол, энэ нь магадгүй илүү нэгтгэх ба ялган өөр өөр арга барилыг сурч, сурах нь зүйтэй юм, зөвхөн дараа нь дугаар зүйлд заасан байна материалын судалгааны үргэлжлүүлье.

Зарим хүн гэж урьд нь (сургуулийн) гэж DX шилжүүлж болно сурах гайхаж байгаа хэсэг Ма / DX хуваагдашгүй гэж үзсэн. Дараа нь та деривативын уран зохиол унших хэрэгтэй бөгөөд энэ нь хязгааргүй бага хэмжээгээр, тэгшитгэл шийдвэрлэх удирдагдаж болох хандлага байна гэж ойлгож байна.

Энэ нь ихэвчлэн функц эсвэл neberuschiysya салшгүй бөгөөд энэ төөрөгдөл тэдэнд асуудал их өгдөг - Олон хүн тэр даруй нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл гэж ойлгож байна.

илүү сайн ойлгохын тулд өөр юу судлах вэ?

Энэ нь цаашид шимтэн мэргэжлийн сурах бичиг ялгаатай тооцооноос ертөнцөд бус математикийн мэргэжлийн оюутнуудад зориулсан математик анализ, жишээ нь, эхлэх хамгийн сайн арга юм. Та дараа нь илүү мэргэжлийн уран зохиолын руу шилжих болно.

Энэ нь дифференциал гадна, байсаар салшгүй тэгшитгэл байдаг гэж хэлсэн байдаг бөгөөд та үргэлж хичээх ба ямар нэг зүйл юу судлах хэрэгтэй болно.

дүгнэлт

Бид энэ өгүүллийг уншсаны дараа та дифференциал тэгшитгэл тэдгээрийг зөвөөр шийдвэрлэхийн тулд юу болох, хэрхэн болох талаар ойлголттой болно гэж найдаж байна.

Ямар ч тохиолдолд, амьдралд бидэнд хэрэгтэй ямар нэг байдлаар математик. Энэ нь ямар ч хүн бүр, гар ч гэж логик, анхаарал, боловсруулдаг.