Maclaurin, зарим чиг үүргийг задрал

Нарийвчилсан математик судлах нь бидэнд хэд хэдэн нийлэлтийн интервал нь эрчим хүчний цуврал сумын удаа тасралтгүй, хязгааргүй тоо ялгавартай үйл ажиллагаа юм гэдгийг мэдэж байх ёстой. асуулт урган гарч байна: гэж өгөгдсөн дурын үйл ажиллагаа F маргах боломжтой байна (х) - цахилгаан цуврал нийлбэр юм бэ? Энэ нь е-ЧИМЭГЛЭЛИЙГ F (х) нь эрчим хүчний цуврал төлөөлж болох ямар нөхцөлд байна вэ? Энэ асуудлын ач холбогдол нь энэ нь ойролцоогоор £ номтны F (х) нь эрчим хүчний цуврал эхний хэдэн гишүүнийх нь нийлбэр юм солих боломжтой юм байна, энэ нь олон гишүүнт юм. олон гишүүнт - - Ийм солих үйл ажиллагаа нь маш энгийн илэрхийлэл юм тохиромжтой, тодорхой асуудлыг шийдвэрлэх юм , математикийн дүн шинжилгээ хийх , тухайлбал тооцоолох үед интегралууд шийдвэрлэхэд дифференциал тэгшитгэл , гэх мэт ...

Энэ нь батлагдсан байна гэж орчимд хамгийн сүүлийн үеийн зэрэг зарим е-II F (х), (N + 1) -th дэг үүсмэл тооцож болно, үүгээр (α нь - R; х ₀ + R) нь цэг х = α бодит томъёо нь:

Энэ томъёо алдарт эрдэмтэн Brooke Тейлор нэрээр нэрлэгдсэн байдаг. Өмнөх нэг гарсан байдаг хэд хэдэн нь Maclaurin цуврал гэж нэрлэдэг байна:

боломжтой болгодог дүрэм нь Maclaurin цуврал өргөжүүлэх болно:

1. Эхний хоёр дахь, гурав дахь, ... дарааллаар нь дериватив тодорхойлно.
2. -д х = 0 уламжлалууд нь юу болохыг тооцоол.
3. Бичлэг Maclaurin цуврал энэ үйл ажиллагаанд, дараа нь нийлэлтийн хугацааг тодорхойлох.
4. (; R -R), томъёо Maclaurin үлдэгдэл хэсгийг интервалыг тодорхойлох

R _N (х) -> 0 N нь -> хязгааргүй. нэг байгаа бол, энэ функц F (X) Maclaurin цуврал нийлбэртэй тэнцүү байх ёстой.

одоо бие даасан үйл ажиллагаанд Maclaurin цуврал авч үзье.

1. Тиймээс эхний F болно (X) = E ^X. Мэдээж хэрэг, энэ нь тэдний шинж чанар нь е-Ia захиалга нь төрөл бүрийн, е ^{(к) (X)} = E ^X, к бүх тэнцүү байна уламжилсан байна тиймээс байгалийн тоо. Орлох х = 0. Бид F ^{(к) (0)} = E ⁰ = 1, к = 1,2 олж авах ... дурдсан, и ^х хэд хэдэн үндсэн дээр дараах байдлаар Энэ нь байж болно:

2. функц F (х) = нүгэл Х-д зориулсан Maclaurin цуврал. Нэн даруй гаргаж авсан болно л үл мэдэгдэх тэр е-гүй е гадна ^"(х) = COS х = нүглийн (х + N / 2), ^{F '' (х)} = -sin х = нүгэл (х зааж, + 2 * N / ²⁾ ..., F ^{(к) (х)} = нүгэл (X + N * к / 2), K ямар нэгэн эерэг бүхэл тоо тэнцүү байна. Энэ нь юм энгийн тооцоог гаргах, бид F нь цуврал (х) = нүгэл X Энэ мэт байх болно гэж дүгнэж болно:

3. Одоо iju е-F (X) = COS X авч үзье. Энэ нь дур мэдэн зорилгоор бүх деривативын хувьд үл мэдэгдэх юм, ^{| F (к) (X)} | = | Cos (х + K * N / 2) | <= 1, к = 1,2 ... Дахин хэлэхэд, энэ нь зарим тооцоог хийсэн учир бид F нь цуврал (х) нь иймэрхүү харагдах болно COS X = болохыг олж мэдэх:

Тиймээс бид Maclaurin цуврал өргөжүүлж болно хамгийн чухал боломжуудыг жагсаасан байна, гэхдээ тэдгээр нь зарим функцийн Тейлорын цуврал нэмэлт. Одоо бид тэднийг сайн жагсаадаг. Энэ нь мөн Тейлор цуврал болон Maclaurin цуврал дээд математикийн шийдвэр семинар цуврал чухал хэсэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тэгэхээр, Тэйлор цуврал.

1. Эхний е-II F (х) = LN (1 + X) цуврал юм. Энэ нь бид F (х) = LN (1 + X) Maclaurin цуврал ерөнхий хэлбэрийг ашиглан хэд хэдэн атираат болно Өмнөх жишээн дээр, адил. Гэхдээ энэ боломж нь Maclaurin илүү хялбар олж авч болно. нь геометрийн цуврал нэгтгэх, бид F (X) нь дугаарыг авч = LN (1 + X) дээж:

2. Харин хоёр дахь нь энэ зүйлийн эцсийн байх бөгөөд F (X) = arctg Х-д зориулсан цуврал байх болно. интервалын хамаарах Х-д зориулсан [-1; 1] хүчинтэй задрал байна:

Энэ бол бүх юм. Энэ зүйлд би, ялангуяа эдийн засаг, техникийн коллежид дээд математикийн хамгийн их ашиглагддаг Тейлор цуврал болон Maclaurin цуврал судалгаанд хамрагдсан байна.