Тоонуудын уламжлал: тооцоолох арга, жишээ

Магадгүй, деривативын тухай ойлголт нь биднээс сургуулиасаа мэддэг. Ихэвчлэн оюутнууд үүнийг ойлгоход бэрхшээлтэй байдаг нь эргэлзээгүй чухал зүйл юм. Энэ нь хүмүүсийн амьдралын янз бүрийн салбарт идэвхитэй ашиглагддаг бөгөөд олон тооны инженерчлэлүүд нь деривативын тусламжтайгаар олж авсан математикийн тооцоонд тулгуурласан байдаг. Гэхдээ тоонуудын деривативууд юу болох, тэдгээрийг хэрхэн тооцоолох, хаана ашигтай болох талаар анализ хийхийн өмнө бид түүхэнд бага зэрэг шингэнэ.

Түүх

Математикийн анализд үндэслэсэн деривативын үзэл баримтлал нь нээлттэй байсан (энэ нь ерөнхийдөө тийм биш байсан учраас "зохион бүтээсэн" гэж хэлэх нь илүү дээр). Бүх нийтийн таталцлын хуулийг олж илрүүлснээр бид бүгдээрээ мэддэг, Исаак Ньютон. Тэрбээр бие махбодийн хурд, хурдатгалын мөн чанарыг холбохын тулд физикийн энэ үзэл баримтлалыг анх хэрэглэж байсан. Олон эрдэмтэд энэхүү гайхамшигт шинэ бүтээлийн төлөө Ньютоныг магтан алдаршуулж байгаа юм. Яагаад гэвэл тэр математикийн математикийн бүхэл бүтэн математикийн анализын үндэс болсон юм. Тухайн үед Нобелийн шагналтан Ньютонд хэд хэдэн удаа хүлээн авсан байх магадлалтай.

Бусад агуу оюун ухаангүйгээр биш. Ньютоныхоос гадна Леонард Эйлер, Лейл Лагранжан, Готтефрий Лайбниц зэрэг математикийн суут ухаантнууд нь дериватив, салшгүй хэсэг болсон юм. Энэ нь өнөөг хүртэлх хэлбэрийн ялгаатай тооцооллын онолыг бид хүлээн авсанд талархаж байна. Энэ замаар Leibniz нь генетикийн геометрийн утгыг олж илрүүлсэн бөгөөд энэ нь функцын графиктай тангентын таашаалын өнцгийн огтлолцолоос ялгаатай зүйл биш юм.

Үүссэн тоо? Сургуулиа төгссөний дараа бид бага зэрэг давтах болно.

Дериватив гэж юу вэ?

Та энэ үзэл баримтлалыг хэд хэдэн аргаар тодорхойлж болно. Хамгийн энгийн тайлбар: дериватив нь функцийн өөрчлөлтийн хувь. Бид x-ийн зарим функцын графикыг төлөөлнө. Хэрэв энэ нь шулуун шугам биш бол энэ нь график, заримдаа нэмэгдэж, буурах үетэй уялддаг. Хэрэв энэ графикийн хязгааргүй жижиг интервал авбал энэ нь шулуун шугамын хэсэг болно. Тэгэхээр координатын x хэмжээтэй координатын y-ийн хязгааргүй жижиг сегментийн хэмжээтэй харьцаа тухайн өгөгдсөн функцын дериватив байх болно. Хэрэв бид функцийг бүхэлд нь, тодорхой нэг цэг дээр биш гэж үзвэл бид деривативын функцийг авна, өөрөөр хэлбэл, x дээр тоглоомын хамааралтай байх болно.

Функциональ өөрчлөлтийн хувь хэмжээ нь деривативийн физик утгаас гадна геометрийн утгатай байна. Түүний тухай бид одоо ярьж байна.

Геометрийн утга

Тооцоолсон тоонуудын үүсмэл байдал нь тодорхой тооны тоог илэрхийлдэг бөгөөд зөв ойлголгүйгээр ямар ч утгагүй юм. Дериватив нь зөвхөн функцийн өсөлт эсвэл бууралтыг харуулдаг төдийгүй өгөгдсөн цэг дээрх функцийн график хүртэл тангенийн налуугийн тангенс. Тодорхойгүй байна. Үүнийг илүү нарийвчлан үзье. Бид функцийн графиктай (сонирхолд зориулж, муруй авъя гэвэл). Энэ нь хязгааргүй тооны цэгүүдтэй, гэхдээ зөвхөн нэг цэг хамгийн их буюу хамгийн бага утгатай газрууд байдаг. Ийм цэг дээр функцийн график перпендикуляр мөрийг зурж болно. Ийм шугамыг тангенс гэж нэрлэнэ. ОX тэнхлэгтэй уулзах уулзвар дээр гүйж явна уу. Тэгэхээр тангенс болон OX тэнхлэгийн хоорондох өнцгийг деривативаар тодорхойлно. Эсвэл энэ өнцгийн тангенс үүнтэй тэнцүү байх болно.

Ялангуяа тодорхой тохиолдлуудын талаар ярилцаж, үүссэн тоонуудад дүн шинжилгээ хийцгээе.

Тусгай тохиолдол

Тооцоолсон дериватив нь тодорхой нэг деривативын үнэ цэнэ гэж тодорхойлсон. Жишээлбэл, функцийг y = x ² авна уу. Derivative x нь тоо, ерөнхий тохиолдолд 2 * x-ийн функцтэй. Хэрэв бид деривативыг тооцоолох хэрэгтэй бол, x ₀ = 1 цэг дээр y '(1) = 2 * 1 = 2 гэж авна. Энэ бол маш энгийн зүйл. Сонирхолтой жишээ бол цогц тоонуудын дериватив юм . Нарийн төвөгтэй тоо гэж юу вэ гэдгийг дэлгэрэнгүй тайлбарлахгүй. Зүгээр л энэ нь төсөөлөн бодох нэгж гэж нэрлэгддэг тоо юм - квадрат нь -1-ийн тоо. Ийм деривативыг тооцоолох нь дараах нөхцлүүдэд л боломжтой байдаг:

1) Тоглолт болон х-ийн бодит болон төсөөлөл хэсгүүдээс эхний захиалгын хэсэгчилсэн дериватив байх ёстой.

2) Cauchy-Riemann нөхцөлүүд нь эхний догол мөрөнд тодорхойлсон хэсэгчилсэн деривативуудын тэгш байдалтай холбоотой юм.

Өөр нэг сонирхолтой зүйл нь өмнөхтэй адил төвөгтэй биш боловч сөрөг тоогоор үүссэн дериватив юм. Үнэндээ ямар ч сөрөг тоог эерэг гэж илэрхийлж болох ба 1-ээр үржиж болно. Гэвч тогтмол ба функцын дериватив нь функцын дериватив үржвэрээр үржигддэг тогтмол байна.

Өдөр тутмын амьдралд деривативын үүргийн талаар сурах сонирхолтой байх болно. Энэ бол бидний хэлэлцэж байгаа зүйл юм.

Програм

Амьдралынхаа наад зах нь нэг удаа бидний хувьд математикийн хувьд ач холбогдолгүй гэж боддог бололтой. Деривативын ийм нарийн төвөгтэй зүйл нь магадгүй огт хэрэггүй. Үнэн хэрэгтээ математик бол үндсэн шинжлэх ухаан бөгөөд түүний үр жимс нь физик, хими, одон орон, эдийн засгийн бүрэлдэхүүнд багтдаг. Дериватив нь функцийн графикуудаас дүгнэлт хийх боломжийг олгосон математикийн анализ хийснээр байгалийн хуулиудыг тайлбарлаж, ач тусыг нь хүртсэн юм.

Дүгнэлт

Мэдээжийн хэрэг, хүн бүр бодит амьдрал дээр дериватив байж болохгүй. Гэхдээ математик нь зайлшгүй шаардлагатай логикийг бий болгодог. Математикийг шинжлэх ухааны хатан гэж нэрлэдэг зүйл биш юм. Энэ нь бусад мэдлэгийг ойлгох үндсийг бүрдүүлдэг.