Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем. шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем

Сургууль дээр, бидний хүн нэг бүр тэгшитгэл, мэдээж, тэгшитгэлийн системийг судалж,. Гэхдээ тийм ч олон хүмүүс тэднийг шийдвэрлэхийн тулд хэд хэдэн арга байдаг гэдгийг бид мэднэ. Өнөөдөр бид шугаман алгебрийн тэгшитгэл, хоёр буюу түүнээс дээш тэгшитгэлийн бүрддэг тогтолцоог шийдвэрлэх нь яг л аргыг харах болно.

түүх

Өнөөдөр бид тэгшитгэл, тэдгээрийн тогтолцоог шийдвэрлэх урлагийн эртний Вавилон, Египет гаралтай гэдгийг би мэднэ. Гэсэн хэдий ч, тэдний танил хэлбэрээр тэгш тэнцүү тэмдэг "=", англи математикч рекорд гэхэд 1556 онд танилцуулж байсан үүссэн дараа бидэнд үзэгдэв. Дашрамд хэлэхэд, энэ тэмдэг нь шалтгаанаар сонгосон юм: энэ нь хоёр зэрэгцээ тэнцүү сегментийг гэсэн үг юм. Үнэн хэрэгтээ, эрх тэгш байдлыг хангах хамгийн сайн жишээ нь гарч ирэх биш.

Орчин үеийн бичих үүсгэн байгуулагч, үл мэдэгдэх хэмжээний тэмдэг, Францын математикч Fransua Вьетнам. Гэсэн хэдий ч, түүний зориулалт өнөөдрөөс эхлэн ихээхэн ялгаатай байна. Жишээ нь, нэр нь үл мэдэгдэх олон тооны дөрвөлжин тэр захиа Q (. LAT "quadratus"), мөн шоо томилсон - (. LAT "Cubus") үсэг С. Эдгээр тэмдэглэгээ нь одоо эвгүй санагдаж, харин дараа нь энэ нь шугаман алгебрийн тэгшитгэл тогтолцоог бичих хамгийн хялбар арга зам юм.

Гэсэн хэдий ч, уусмалын зонхилох арга нь сул тал математикч зөвхөн эерэг үндэс нь гэж үзэж байна гэж байсан юм. Магадгүй энэ нь сөрөг утга нь ямар ч практик хэрэглээг байхгүй байна байгаатай холбоотой юм. Нэг арга зам нь эсвэл өөр, гэхдээ эхлээд сөрөг үндэс нь 16-р зууны үед Италийн математикийн Николь Tartaglia, Gerolamo Cardano болон Рафаэль Bombelli дараа эхэлсэн гэж үзэж болно. Орчин үеийн харагдах, шийдвэрлэх гол арга нь квадрат тэгшитгэл (discriminant дамжуулан) Декарт ба Ньютоны ажил дамжуулан зөвхөн 17-р зуунд байгуулагдсан.

18-р зууны Швейцарийн математикч дунд Габриел Cramer шугаман тэгшитгэлийн хялбар нь системийн шийдлийг хийх шинэ арга замыг олсон. Энэ арга нь хожим түүний нэрээр нэрлэсэн бөгөөд энэ өдрийг хүртэл бид үүнийг ашигладаг. Харин ч одоо бага зэрэг дараа нь Kramer-ын яриа аргыг бид системийн шугаман тэгшитгэл, тэдгээрийн шийдлийг тус тусад нь хэлэлцэх болно.

шугаман тэгшитгэл

Шугаман тэгшитгэл - хувьсагчийн (ууд) нь энгийн тэгшитгэл. Тэд алгебрийн хамаарна. Шугаман тэгшитгэл ерөнхий хэлбэрээр бичигдсэн Үүнд: ₁ * х ₁ + _{2 *} х ₂ + ... мөн _N * х _N = б. Энэ маягтын ирүүлэх бид системийн бэлтгэх хэрэгтэй ба дээр матрицууд байна.

шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем

Энэ хугацаанд тодорхойлолт нь: нийтлэг үл мэдэгдэх, ерөнхий шийдэл байж тэгшитгэлийн тогтоосон. Ер нь, сургууль дээр бүх хоёр, тэр ч байтугай гурван тэгшитгэл нь системийг шийдэж. Гэвч дөрөв буюу түүнээс олон бүрэлдэхүүн хэсэг нь систем байдаг. -н хэрхэн Ингэснээр дараа нь шийдэх хэрэгтэй байсан юм бичиж эхлээд авч үзье. гэх 1,2,3 ба: Нэгдүгээрт, шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем нь бүх хувьсагчууд харгалзах индекс нь х гэж бичсэн бол байна илүү сайн харагдах болно. Хоёрдугаарт, энэ нь он цагийн дарааллаараа хэлбэрээр бүх тэгшитгэлүүдийг хүргэж байх ёстой: ₁ * х ₁ + _{2 *} х ₂ + ... мөн _N * х _N = б.

Энэ бүх үе шатыг дараа бид яаж шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олохын тулд танд хэлж эхлэх болно. Тэр маш их уран матриц ирэх болно.

матриц

Матриц - Мөр, баганыг нь бүрддэг хүснэгт, түүний элементүүд тэдгээрийн уулзвар дээр байдаг. Энэ нь тодорхой утга буюу хувьсагчийг аль нэг байж болно. Ихэнх тохиолдолд, тэмдэглэгээний (жишээ нь, нэг ₁₁ буюу ₂₃ сайн) дор зохион байгуулсан байна элементүүдийг тодорхойлох юм. багана - эхний индекс мөр дугаарыг, хоёр дахь харуулж байна. Дээрх болон бусад математик элемент гэх мэт Дээрх матриц нь төрөл бүрийн үйлдлүүдийг хийж болно. Тиймээс та:

1) нэгээс нөгөөг хасаад хүснэгтийн ижил хэмжээг нэмнэ.

2) ямар ч тоо буюу вектор нь матриц үржүүлээд.

3) Transpose: багана матриц шугам өөрчлөх, болон багана - мөрөнд.

4), матриц үржүүлээд мөрийн тоо тэдний нэг багана нь өөр өөр тоо тэнцүү бол.

Тэд ирээдүйд бидэнд ашигтай байдаг талаар дэлгэрэнгүй эдгээр техникийг бүх талаар хэлэлцэх хэрэгтэй. Хасах болон матрицтай нэмэлт нь маш энгийн байдаг. Бид ижил хэмжээтэй матриц авч оноос хойш нэг ширээнд элемент тус бүр бусад бүх элемент холбоотой юм. Тиймээс бид нэмнэ (хасах) Эдгээр элементийн хоёр (энэ нь тэд хүнсэн дэх ижил газар дээр зогсож байсан нь чухал юм). матриц буюу вектор тоогоор үржүүлж үед та зүгээр л энэ тоо (буюу вектор) нь матрицын элемент тус бүр үржүүлж. Шилжүүлэлт - маш сонирхолтой үйл явц. Маш түүнийг бодит амьдрал дээр нь таблет, эсвэл утасны чиг баримжаа өөрчлөгдөж байх үед, жишээ нь харах заримдаа сонирхолтой. компьютер дээр дүрс нь матриц бөгөөд байдлын өөрчлөлт нь, энэ нь шилжүүлсэн бөгөөд өргөн болдог, харин өндөр нь буурна.

АНУ-ын гэх мэт илүү үйл явцыг авч үзье матриц үржүүлэх. Хэдийгээр тэр бидэнд хэлсэн, ашигтай биш юм, гэхдээ энэ нь одоо ч ашигтай юм мэдэж байх хэрэгтэй. Үржүүлэх хоёр матриц нь нэг хүснэгтэнд баганы тоо бусад эгнээ тоотой тэнцүү байна гэж л нөхцөлд байж болох юм. Одоо нэг матриц мөр элементүүдийг болон харгалзах баганад бусад элементүүдийг авна. бие биенээ, дараа нь сум тэднийг үржүүлж (: а * В _{11 12} + ₁₂ * б, ₂₂ жишээ нь, жишээлбэл, элемент _{11, 12, 12} б, ₂₂ б-д нь бүтээгдэхүүн тэнцүү байх _болно). Тиймээс нэг ширээний зүйл нь, түүний адил арга улам дүүрэн байна.

Одоо бид шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэж хэрхэн авч эхлэх болно.

гаусс

Энэ сэдэв сургууль дээр явагдаж эхэлсэн. Бид маш сайн "хоёр шугаман тэгшитгэлийн систем" гэсэн ойлголтыг мэдэж, тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх мэднэ. Гэвч тэгшитгэлийн тоо хоёр илүү юу юм бол? Энэ нь бидэнд туслах болно гаусс арга.

Мэдээж хэрэг, энэ арга нь та системийн матриц хийх бол, ашиглах нь тохиромжтой байдаг. Харин та нар үүнийг хөрвүүлэх, түүний өөрөө шийдэж чадахгүй.

Тэгэхээр яаж шугаман тэгшитгэл Гаусс нь системийн үүнийг шийдэх вэ? Дашрамд хэлэхэд, бүр энэ арга боловч, түүний нэрээр нэрлэгдсэн, гэхдээ эрт дээр үеэс үүнийг олж илрүүлсэн. Гаусс эцэст нь echelon хэлбэрээр бухэлд нь үр дүнд тулд тэгшитгэлийн дагуу явуулсан нь үйл ажиллагаа байна. Энэ нь та нэг үл мэдэгдэх багассан өнгөрсөн тэгшитгэл дээрээс доош (зөв байрлуулах бол) эхний авсан байх хэрэгтэй юм. - Гурван үл мэдэгдэх, хоёр дахь нь - гурав дахь нь хоёр - нэг нь эхний: Өөрөөр хэлбэл, бид гурван тэгшитгэлийг бид авсан шүү дээ эсэхийг шалгах хэрэгтэй байна. Дараа нь өнгөрсөн тэгшитгэл нь бид эхлээд тодорхой бус олж, хоёр дахь, эсвэл эхний тэгшитгэлд түүний үнэ цэнийг орлох, цаашид үлдсэн хоёр хувьсагчийг олж болно.

Cramer-ын дүрэм

Энэ аргын хөгжилд гадна ур чадвар, матрицын нь хасах, түүнчлэн тодорхойлогч олж чаддаг байх хэрэгтэй эзэн нь амин чухал юм. Тиймээс та энэ бүх хийж байгаа нь эвгүй байгаа бол, эсвэл ямар мэдэхгүй, шаардлагатай сурах, сургах юм.

Энэ аргын мөн чанар нь юу юм, үүнийг хэрхэн хийхийг, шугаман тэгшитгэл Cramer тогтолцоог авах вэ? Энэ нь маш энгийн юм. Бид тоо нь матриц (бараг үргэлж) шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн коэффициентийг барих хэрэгтэй. Ингэхийн тулд ердөө л үл мэдэгдэх тоог авч, бид тэдгээр нь системийн бичигдсэн байдаг гэсэн дарааллаар ширээ зохион байгуулна. дугаар тэмдэг өмнө бол "-", дараа нь бид сөрөг коэффициент бичиж байна. Тиймээс бид үл мэдэгдэх нь коэффициент эхний матриц, тэнцүү тэмдгийн араас тоо, түүний дотор биш (мэдээж зөв зүгээр нэг тоо, зүүн үед тэгшитгэл Дүрмийн дагуу ийм хэлбэртэй хүртэл бууруулах шаардлагатай байна гэж - коэффициенттэй бүх үл мэдэгдэх) хийсэн байна. Дараа нь та хэд хэдэн матриц хэрэгтэй - хувьсагч тус бүрийн хувьд нэг юм. Энэ зорилгоор эхний матриц тэнцүү тэмдгийн араас нэг баганаар коэффициенттэй багана тоо тус бүр солигдож байна. Тиймээс бид хэд хэдэн матриц авч, дараа нь тэдний тодорхойлогч олж болно.

Бид урьдчилсан олж дараа, энэ нь жижиг юм. Бид эхний матрицыг байна, хэд хэдэн олсон матриц, өөр өөр хувьсагч тохирох байдаг. системийн шийдлийг олж авахын тулд бид ширээн анхдагч тодорхойлогч үр дүнг хүснэгт тодорхойлогч хуваана. үр дүнд нь номер нэг хувьсагчийн утга юм. Үүнтэй адилаар, бид бүгд үл мэдэгдэх олж болно.

бусад аргууд

шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олж авахын тулд хэд хэдэн арга байдаг. Жишээ нь, гэж нэрлэгддэг гаусс-Жордан арга мөн квадрат тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олоход ашиглагддаг бөгөөд матриц ашиглах холбоотой. шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх нь Jacobi арга ч бас байдаг. Тэр амархан бүх компьютер нь зохицсон болон тооцоолон бодох хэрэглэж байна.

төвөгтэй тохиолдол

тэгшитгэлийн тоо хувьсагчийн тооноос бага байвал төвөгтэй ихэвчлэн тохиолддог. Дараа нь бид мэдээж гэж хэлж болно, эсвэл системийн тогтворгүй байдаг (өөрөөр хэлбэл, ямар ч үндэс байдаг), эсхүл түүний шийдвэрийн тоо хязгааргүй хандлагатай байна. Бид хоёр дахь тохиолдол болж байгаа бол - энэ нь шугаман тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдлийг бичих шаардлагатай. Энэ нь дор хаяж нэг хувьсагчийг орно.

дүгнэлт

Энд бид төгсгөл ирнэ. Дүгнэхэд: Бид систем матриц, шугаман тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдлийг олохын тулд юу сурснаа ойлгох хэрэгтэй. Үүнээс гадна бид бусад хувилбаруудыг авч үзсэн. Гауссын арилгах: Бид шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэхэд хэрхэн үзэхэд Cramer-ын дүрэм. Бид хүнд хэцүү хэрэг, шийдлийг олох нь бусад арга замын талаар ярилцав.

Ер нь энэ асуудлыг илүү өргөн цар хүрээтэй, мөн та нар үүнийг илүү сайн ойлгож хүсэж байгаа бол бид мэргэжлийн уран зохиолын илүү уншиж та зөвлөж байна.